抽样定理，也称为奈奎斯特-香农采样定理，是信号处理和信息理论中的一个基本概念。它描述了如何将连续时间信号转换为离散时间信号而不丢失信息的条件。

### 基本内容

抽样定理指出，为了从一个连续时间信号中无失真地恢复出该信号，必须以不低于信号最高频率两倍的频率进行采样。具体来说：

- **奈奎斯特频率**：如果一个信号的最高频率为 \( f_{\text{max}} \)，则奈奎斯特频率为 \( 2f_{\text{max}} \)。
- **采样频率**：采样频率 \( f_s \) 必须大于或等于奈奎斯特频率，即 \( f_s \geq 2f_{\text{max}} \)。

### 数学表述

假设一个连续时间信号 \( x(t) \) 的频谱在 \( -f_{\text{max}} \) 到 \( f_{\text{max}} \) 之间，那么该信号可以被唯一确定地表示为其采样值的线性组合，只要采样频率满足：

\[ f_s \geq 2f_{\text{max}} \]

### 应用

抽样定理在许多领域都有广泛的应用，包括：

- **数字音频**：CD音频的采样频率为44.1 kHz，因为人耳能听到的最高频率约为20 kHz。
- **图像处理**：数字图像的采样频率决定了图像的分辨率。
- **通信系统**：在数字通信中，信号的采样和量化是传输过程中的关键步骤。

### 违反抽样定理的后果

如果采样频率低于奈奎斯特频率，会发生 **混叠** 现象，即高频信号会被错误地解释为低频信号，导致信号失真。因此，为了避免混叠，通常会在采样前使用 **低通滤波器** 来去除高于奈奎斯特频率的成分。

### 总结

抽样定理是确保连续时间信号在离散化过程中不失真的重要理论基础。通过遵循这一原则，可以有效地将模拟信号转换为数字信号，并在需要时准确地恢复原始信号。